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蒋守成名师工作室

主题拓展:为儿童的数学学习打开另一扇窗

 
 
 

日志

 
 

诗词中的数学之美  

2014-08-09 21:58:27|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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诗词中的数学之美 - 蒋守成 - 蒋守成名师工作室
 摘要:本文从诗词的外在形式、格律、句式、句度等方面阐述了诗词与数学的关系,以及数学在表现诗词美感中的巨大作用。提出诗词与数学分别是形象思维和逻辑思维的极致和统一,必将在追求“至真”、“至美”的道路上携手同行。

关键词:格律、黄金分割、几何、回文

1 引言

  诗词与数学看似风马牛不相及,实际上它们有着奇妙的同一性。诗词一向被认为是文学艺术上的明珠,是感性灵动的。但实际上,诗词的美感很大一部分要归功于数学之美。正如美学家李泽厚说:“美感是尚待发现和解答的某种未知的数学方程式。”

2 诗中的数学之美

.1 诗外在形式的数学之美

  诗外在形式最大的特点是两句一组,依次向下排开,出句和对句字数相同,形成强烈的数学对称之美。

  诗的对称之美还体现于一种修辞手法——对仗。长律是对仗美的最好体现,它除首尾两联不用对仗外,其余各联全用对仗,给人工整匀称,气势磅礴的艺术享受。

中国诗源远流长,大体可划为古体诗和近体诗。古体诗可以完全不对仗,而近体诗对对仗的要求很严格,尤其是律诗。可以看出,随着诗的发展,诗人们对数学对称美的追求越来越强烈。

.2 诗格律中的数学之美

与古体诗相比,近体诗的格律较为固定,故将其作为分析对象。近体诗又分为律诗和绝句,绝句是律诗的一半,故只分析律诗。

我们以五言律中“首句仄起仄收式”为例

仄仄平平仄

平平仄仄平

平平平仄仄

仄仄仄平平

仄仄平平仄

平平仄仄平

平平平仄仄

仄仄仄平平

律诗中讲究“一三五不论,二四六分明”,我们将诗中的“平”用“0”、“仄”用“1”去对应。则会有下面的矩阵。

诗词中的数学之美

①“一三五不论”的口诀并不完全合于律诗的实际情况,这里不做研究,感兴趣的同学可查阅王力先生的《诗律余论》。

再规定下面的运算:

(1) 取补:即T(1)= 0

T(0)= 1

(2) 用 表示矩阵中第m行的第n个数

由于“一三五不论”,我们只研究“ ”和“ ”,即每行的第二和第四个字。

通过观察格律,我们可以发现下面的规律:



应指出,这里的公式须先确定,只要知道,通过此公式便可将五律中的所有平仄推导出来。

律诗中所谓“对”和“黏”的概念,其实讲的就是刚才公式推导的过程,下面简单介绍。

诗词中的数学之美

七言律只是比五言律多了二字,其对黏规律与五言律基本相同,仍可以用上述矩阵公式推导。这里就不再赘述了。

2.3 诗中巧用数字的数学之美

数字深受中国诗人的青睐,它在诗中的巧妙运用,会成为极好的支撑和点缀。

唐诗三百首(人民文学出版社,1982年版)中有数字出现的诗篇就有77篇之多,占总数的26%。

出现数字的诗句共有81句,其中出现数字184个,其中各数字出现次数和频率如下

数字

次数

频率

44

24﹪

21

11﹪

23

12﹪

2﹪

12

7﹪

1﹪

0﹪

1﹪

14

8﹪

14

8﹪

12

7﹪

14

8﹪

22

12﹪

由于数字本身就很利于对仗美的形成,故数字用于对仗诗句中的高达54个,占总句数81句的2/3。

另外,我们还发现一些奇妙的规律。在十以内的数字中,出现频率明显较高的是“一”、“二”、“三”、 “五”、 “九”,这不禁让我们联想到“黄金分割”的一种形式——斐波那契数列(即1、1、2、3、5、8、13……,且从第三项起每项均为前两项之和)。黄金比例是一种美妙的比例关系,它反映在几何学上,是把线段L分为两段,使其中较长段X为全段与较短段(L-X)的比例中项,即满足等式L:X=X:(L-X)。解得X=0.618034……倍L。这一比例无比美妙,人的肚脐在身高的0.618处,上肢长约为下肢的2/3等,均体现了黄金分割之美。而斐波那契数列前两项之比是1:1,反映对称关系,自第三项起,每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系,且愈往后精度愈高。“一”、“二”、“三”、“五”、“九”中除“九”外全部符合斐波那契数,而其在10以内数中出现比例更高达82℅。很显然,这不仅仅是一个巧合。

为进一步证明诗中选择的数字与斐波那契数列的密切关系,我们又发现了对仗诗句中的数字也很有规律。那就是斐波那契数常和其相邻的斐波那契数形成对仗。我们拿“一”、“二”、“三”、“五”为例。(注:“八”与“十三”相邻,诗要求字数工整,“十三”不可与“八”对仗入诗,故不把“八”列入研究之列)。列出表格如下

“一”

与“一”或“二”对仗6次

共用于对仗句25次

“二”

与“一”或“三”对仗9次

共用于对仗句11次

“三”

与“二”或“五”对仗6次

共用于对仗句15次

“五”

与 “三”对仗3次

共用于对仗句10次

例如:“吏呼一何怒,妇啼一何苦。”(杜甫《石壕吏》)

“两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天。”(杜甫《绝句》)

   “三顾频烦天下计,两朝开济老臣心。”(杜甫《蜀相》)

   “城阙辅三秦,风烟望五津。”(王勃《送杜少府之任蜀州》)

可以看出,在对仗句中斐波那契数与其相邻的斐波那契数形成对仗的比例高达40%,这显然不是一种偶然,而是诗人们不自觉地运用了黄金比例的美感。

诗人青睐数字,大概还有以下几个原因:

一、数字可以增强诗内容的概括性

因为数字具有抽象性和简洁性,所以数字入诗不仅可以是语言精练,而且可以增强诗句的概括性。

例如,毛主席的诗句:“四海翻腾云水怒,五洲震荡风雷激。”只用一个“四海”、一个“五洲”就把整个世界的形势都概括进来了。

二、数字可以突出形象的鲜明性

数字不仅能从大的方面对事物起概括作用,而且能从某一侧面对事物的形象起到充实和描写作用,表现强烈的艺术夸张效果。

李白的“飞流直下三千尺,疑是银河落九天。”便是最好的例子。另外,柳宗元的“千山鸟飞绝,万径人踪灭。孤舟蓑笠翁,独钓寒江雪。”“千”“万”“孤”“独”的数字有尖锐的对比和衬托作用,令人为之悚然。

三、数字在律诗中还能使对仗更加工稳,使音节更为铿锵

例如岳武穆的“三十功名尘与土,八千里路云和月。”,陆放翁的“三万里河东入海,

五千仞岳上摩天。”同样是壮怀激烈!

2.4 诗意境的几何之美

诗中的意境具有典型性和简洁性,通过她表现出抽象的美感。这让我们不得不联想到简洁抽象的几何美感。

王摩诘的诗素有“诗中有画”的美誉,其意境最具典型和抽象性。下面就以他《使至塞上》的绝唱为例。

“大漠孤烟直,长河落日圆。”

这首诗描绘了一幅雄阔,壮美的大漠黄昏图。从几何角度上看,那“大漠”可视为一个平面,而直上的“孤烟”可看做是垂直于地面的直线(如图1),那远处横卧的长河北视为一条直线,那临近河面逐渐下沉的落日被视为一个圆,“长河落日圆”便是一个圆切于一条直线(如图2

诗词中的数学之美

任何具体的景致都会在历史的波涛中湮没,只有抽象出来的美感才会永垂不朽!“大漠孤烟直,长河落日圆。”正是王维不自觉地运用了几何学永恒的抽象之美,才拥有了震撼千古的艺术魅力!

2.4 回文数与回文诗

数学与诗有着惊人的相似之处,数学中有回文数,诗中有回文诗。

自然数中,无论从左往右或是从右往左去读都是一个数的数叫做回文数。

两位数中只有九个回文数:112233445566778899

三位数中的回文数由前两位确定,共有9 10=90个。它们是111121131、…212222、…989999

一般地n位数的回文数:

n为偶数(n=2k)时,有回文数 个。

n为奇数(n=2k+1)时,有回文数 个。

有趣的是,将两个回文数相加或相减其结果仍是回文数。

例如,56365+12621=689865775-2222=3553

更有趣的是,任取一个正整数,与它的倒序数(如1962的倒序数是2691)相加,若其和不是回文数,再将结果的倒序数与结果相加,重复这一步骤,一直得到回文数为止。例如从1992开始,经过7步骤就得到了回文数:

A 1992+2991=4983

B 4983+3894=8877

C 8877+7788=16665

D 16665+56661=73326

E 73326+62337=135663

F 135663+366531=502194

G 502194+491205=993399

于是数学家提出如下的猜想:不论开始采用什么正整数,在经过有限次倒序相加步骤后,都会得到一个回文数。这仅仅是一个猜想,因为有些数并不“驯服”。如196就是利用上面的方法似乎永远也不成回文数的一个最小的数:

A 196+691=887

B 887+788=1675

C 1675+5761=7436

D 7436+6347=13783

E 13783+38731=52514

…………

据说利用计算机重复计算十万次,仍未得到回文数。但是人们既不能肯定也不能否定这样永远下去得不到回文数。

这个奥秘就留给我们后人探索吧。

下面我们再看看回文诗。

回文诗有多种形式,如“通体回文”、“就句回文”、“双句回文”、“本篇回文”、“环复回文”等。回文诗的创作难度相当高,但若运用得当,其艺术魅力是一般诗体无法比拟的。

大文豪苏东坡是写回文诗的高手,下面举他的七律诗《游金山寺》为例

潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓月明。

桥对寺门松径小,巷当泉眼石波清。

迢迢远树江天晓,蔼蔼红霞晚日晴。

遥望四山云接水,碧峰千点数鸥轻。

我们把这首七律每两句由后往前读下去,就成了:

明月钓舟渔浦远,倾山雪浪暗随潮。

清波石眼泉当巷,小径松门寺对桥。

晴日晚霞红蔼蔼,晓天江树远迢迢。

轻鸥数点千峰碧,水接云山四望遥。

也可将整首诗由后往前读下去,就成了:

轻鸥数点千峰碧,水接云山四望遥。

晴日晚霞红蔼蔼,晓天江树远迢迢。

清波石眼泉当巷,小径松门寺对桥。

明月钓舟渔浦远,倾山雪浪暗随潮。

这首回文诗无论是顺读还是倒读,都是情景交融、清新明丽的好诗,历来被认为是回文诗中的上乘之作。

3 词中的数学之美

3.1 词外在形式的数学之美

词从诗发展过来,所以又叫“诗余”。

词按字数可分为三类:

58字以内 小令

5990 中调

90字以上 长调

可见,字数的两个关键点是5890,细心的同学可能会发现,5890恰好接近“黄金比例”!

另外,从段落上,词又可分为小令、双调、三叠、四叠。其中双调最常。这是词人对数学对称美追求的体现。

3.2 词的句式奇偶和句度长短的数学之美

长短句歌词的形式之美,是根据“奇偶相生”、“轻重相权”的八字法则加以错综变化而构成的。

一般来说,每一句歌词的句式安排,在音节上总不出和谐和拗怒两种。而这种调节关系,有的体现在整阕每个句子中间,即句式奇偶和句度长短的配置;有的表现在每句的落脚字,即句末字调的安排。我们这里重点讨论句式奇偶和句度长短的配置产生的数学之美。

以陆游的《钗头凤》为例

红酥手,黄藤酒,满城春色宫墙柳。东风恶,欢情薄。一杯愁绪,几年离索。错!错!错!

春如旧,人空瘦,泪痕红悒鲛绡透。桃花落,闲池阁。山盟虽在,锦书难托。莫!莫!莫!

这一曲调,符合“奇偶相生”的和谐法则。上下阕各叠用四个三言短奇句,两个四言,这就构成整体的拗怒音节,显示一种情急调苦的姿态。尤其是阕尾的“错!错!错!”和“莫!莫!莫!。单字仄声本就铿锵有力,放翁还将三字叠用,真是将奇数的拗怒凄苦之情发挥到了极致!(读者可将此句改为二字或四字叠句读一下,便可体会到三字的拗怒情味了。)

对举晏几道的《临江仙》

梦后楼台高锁,酒醒帘暮低垂。去年春恨却来时。落花人独立,微雨燕双飞。

记得小苹初见,两重心字罗衣。琵琶弦上说相思。当时明月长,曾照彩云归。

这是一曲平韵小令,也符合“奇偶相生”的和谐法则。上下阕各用二个六字句,二个五字句和一个七字句,整体构成流丽谐婉的音节。我们重点关注阕首的两个六字句。六字句在诗中不常见,词中却很活跃,原因就在它音节的特点。“诗以言志,词以言情”,诗喜欢用“五言”、“七言”这类严肃规整的句度,这利于言志;而词喜欢用“四言”、“六言”这些活泼俏皮的句度,这适于言情。六字句是三个二字句组合起来的。“三”给人的感觉是急促的,三字句就是这种感觉。但“二”给人的感觉是和缓温柔的,六字句就这样将急促和缓柔结合起来,读起来感觉好似迎面活泼蹦跳而来的孩子,既不飞奔般急促,又不漫步般闲缓。

《临江仙》阕首便是相叠的六字句,清丽婉约的小令气息统领全词,成为历代词家喜用的佳调。

3.3 韵位安排的数学之美

大体来说,一般谐婉的曲调,例以隔句或三句一协韵为标准,韵位均匀,多选平韵。

在同一曲调中,凡属句句押韵的一段声情比较迫促,隔句押韵的所在,即转入缓和。

以冯延巳的《谒金门》为例

风乍起,吹皱一池春水。闲引鸳鸯香径里,手挼红杏蕊。 斗鸭阑干独倚,碧玉

搔头斜坠。终日望君君不至,举头望鹊喜。

全阕句句押韵,一句换一个意思,步步紧逼,不是充分活衬出一个伤春少妇迫切的心

情来吗?

再举秦观的《阮郎归》

湘天风雨破寒初,深沉庭院虚。丽谯吹罢小单于,迢迢清夜徂。 乡梦断,旅魂孤,峥嵘岁又除。衡阳犹有雁传书,郴阳和雁无!

秦观的《阮郎归》极为低抑悲苦,成为千古绝唱,原因大概有二。

韵位关系上,它富有数学的美感。它除下阕变三言单句为三言两句,隔句一协,显示换气处略显舒缓外,余皆句句押韵,一气旋折而下,使人感到情急调苦,凄婉欲绝。

平仄使用上,就更显出数学的魅力,它那四个五言句子全用“平平平仄平”,平声在一句中占了五分之四。须知一句中不可只有一种平仄的,否则便没有抑扬之美了。正是由于平声在句子中已占到了最大比例,情调的低沉之感被渲染到了极致。

4 总论:诗词艺术与数学科学的交融

数学与诗词是逻辑思维与形象思维的两个极致:数学是逻辑思维的皇冠,诗词是形象

思维的奇葩。

两种事物纵向发展到极致的结果往往不是南辕北辙,而是像登山一样,“殊途而同归”。数学与诗词便是这样。

表面上看,数学与诗词在语言文字的精练要求上是一致的。数学有一个明显的特点是,它的语言准确而简练,一个命题中没有也不能有多余的字(包括数学符号)。这种要求只能中国古典诗词能与之相比。因为一首诗词的文字很少,而且对诗句音韵平仄的限制十分严格。一首传世佳作,其中每个字都要恰到好处,不能随意改动。“吟安一个字,拈断数茎须”,“二句三年得,一吟泪双流”表现的都是文学家们追求“至美”与数学家们追求“至真”同样的严谨、执着。

更深层次上,诗词与数学的统一归根到底是符号上的统一:数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系,而诗词则是揭示隐秘的精神世界的符号体系。

诗词与数学的同一性来源于人类两种基本思维方式——形象思维和科学思维的同一性。诗词是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果,数学则以理性思维的形试描述人类的感觉经验。诗词是“以美启真”,数学是“以真启美”,虽然方向不同,实则同一。诗词与数学虽一个在山南、一个在山北,但最终,她们必将携手迈向“至美至真”的顶峰!

参考文献:

1、 王力,诗词格律概要,世界图书出版办公司,2006.6

2、 龙榆生,词学十讲,北京出版社,2004

3、 JosephHSilverman,数论概述,机械工程出版社,2008

4、 易南轩、王芝平,多元视角下的数学文化,科学出版社,2007

 
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